まずは香川県に入るルートのおさらいになります。
香川県への行き方やアクセス全般については以下の記事にまとめていますのでぜひご参照ください。

要約しますと各都道府県からこの【A】~【E】の中のいずれかに接続する方法を探すという手順になります。
青森県から香川県に行くための主なルート
青森空港からは羽田空港と伊丹空港への直行便があるので【B】と【E】が候補になるでしょう。名古屋空港や千歳空港にも行けますが経由地として現実的ではないと思われます。
新青森駅から新幹線で東京に出ても【E】が使えますね。在来線(特急)を利用しても青春18きっぷなどを使わない限り料金はほぼ変わらずに時間だけがかかるので割愛します。
東京に出る方法であれば夜行バスもあって9時間8,000円程のようです。【E-1】と組み合わせて夜行バスの乗り継ぎであれば時間は1日がかりになりますが2万円ほどで香川県に行くことができます。
少し東京観光をしてから香川県に向かうなんていうのもアリかもしれません。

高松空港から青森空港へのチャーター便がある?
令和5年度の高松空港では、青森へのチャーター便が2便運航されたそうです。
今のところ定期運行されるという情報はありませんが、時々チャーター企画が実施されていることがあるようなのでチェックしてみるといいかもしれません。
青森県から香川県に行く方法まとめ
青森空港からの飛行機が新幹線に比べると早くて安いので、鉄道好きや飛行機嫌いなどでなければ飛行機で羽田経由がよさそうです。
とにかく安くしたい場合や、夜行バスに慣れている方は夜行バスの乗り継ぎがとても安いです。
それ以外だと神戸空港経由が安くて早いです。
LCCが就航していない青森空港は航空運賃が高くなりがちですので航空券と宿泊施設のセットを予約するとお得かもしれません。